Question

【题目】某学校有甲、乙两个实验班，为了了解班级成绩，采用分层抽样的方法从甲、乙两个班学生中分别抽取8名和6名测试他们的数学成绩与英语成绩（单位：分），用表示（m，n）．下面是乙班6名学生的测试分数：A（138，130），B（140，132），C（140，130），D（134，140），E（142，134），F（134，132），当学生的数学、英语成绩满足m≥135，且n≥130时，该学生定为优秀学生．
（1）已知甲班共有80名学生，用上述样本数据估计乙班优秀生的数量；
（2）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取3名，求至少有两名优秀生的概率；
（3）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取2名，其中优秀生数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：设乙班共有学生x名，则 ，解得x=60．即乙班共有学生60名．由测试成绩可知：A，B，C，E四名学生为优秀生，∴ =40．

∴用上述样本数据估计乙班优秀生的数量为40

（2）解：至少有两名优秀生的情况包括两种：一种是只有两名优秀学生，另一种是3名都是优秀生．

∴要求的概率P= =

（3）解：由已知可得：ξ的值为0，1，2，从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取1名是优秀生的概率为 ．

则ξ～B ，P（ξ=k）= ，可得P（ξ=0）= ，P（ξ=1）= ，P（ξ=0）= ．

ξ	0	1	2
P

∴Eξ= =

【解析】（1）设乙班共有学生x名，则 ，解得x=60．即乙班共有学生60名．由测试成绩可知：A，B，C，E四名学生为优秀生，即可得出．（2）至少有两名优秀生的情况包括两种：一种是只有两名优秀学生，另一种是3名都是优秀生．利用互斥事件与相互独立事件、古典概率计算公式即可得出．（3）由已知可得：ξ的值为0，1，2，从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取1名是优秀生的概率为 ．

则ξ～B ，P（ξ=k）= ，即可得出分布列与数学期望．

【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．