Question

14．已知x＞0，y＞0，lg2^x+lg8^y=lg2，则$\frac{x+y}{xy}$的最小值是$2\sqrt{3}+4$．

Answer 1

分析 直接利用对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最值．

解答 解：x＞0，y＞0，lg2^x+lg8^y=lg2，
可得x+3y=1．
$\frac{x+y}{xy}$=$\frac{（x+y）（x+3y）}{xy}$=$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}+4xy}{xy}$=$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy}+4$≥$\frac{2\sqrt{{x}^{2}•3{y}^{2}}}{xy}+4$=$2\sqrt{3}+4$．
当且仅当x=$\sqrt{3}y$，x+3y=1，即y=$\frac{1}{3+\sqrt{3}}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$，x=$\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$时取等号．
$\frac{x+y}{xy}$的最小值是$2\sqrt{3}+4$．
故答案为：$2\sqrt{3}+4$．

点评 本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．