题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,设椭圆
的下顶点为
,右焦点为
,离心率为
.已知点
是椭圆上一点,当直线
经过点
时,原点
到直线
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与圆
:相交于点
(异于点
),设点
关于原点
的对称点为
,直线
与椭圆相交于点
(异于点
).①若
,求
的面积;②设直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,求证:
是定值.
【答案】(1)(2)见证明
【解析】
(1)运用椭圆的离心率公式以及点到直线的距离公式,解方程可得,
,
,进而得到所求椭圆方程;(2)设直线
的斜率为
,则直线
的方程为
,联立椭圆方程可得
的坐标,联立圆方程可得
的坐标,运用两直线垂直的条件:斜率之积为
,求得
的坐标,①由
可得
,求得
,
坐标,以及
,
,由
的面积为
,计算可得;②运用两点的斜率公式,分别计算线
的斜率为
,直线
的斜率为
,即可得证.
(1)据题意,椭圆的离心率为
,即
.①
当直线经过点
时,直线
的方程为
,即
,
由原点到直线
的距离为
,可知
,
即.③
联立①②可得,,
,故
.
所以椭圆的方程为
.
(2)据题意,直线的斜率存在,且不为0,
设直线的斜率为
,则直线
的方程为
,
联立,整理可得
,
所以或
.
所以点的坐标为
,
联立和
,
整理可得,所以
或
.
所以点的坐标为
.
显然,是圆
的直径,故
,
所以直线的方程为
.
用代替
,得点
的坐标为
,
即.
①由可得,
,
即,解得
.
根据图形的对称性,不妨取,
则点,
的坐标分别为
,
,
故,
.
所以的面积为
.
②证明:直线的斜率
,
直线的斜率
.
所以为定值,得证.

练习册系列答案
相关题目