Question

【题目】如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（1）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；
（2）若CD=2，AA1=λAC，二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为 ，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接A1C交AC1于E，因为AA1=AC，又A A1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AC，

所以A1ACC1为正方形，所以A1C⊥AC1，

在△ACD中，AD=2CD，∠ADC=60°，由余弦定理得 AC2=AD2+CD2﹣2 ACDCcos60°，

所以 ，所以AD2=AC2+CD2，

所以CD⊥AC，又AA1⊥CD．所以CD⊥平面A1ACC1，

所以CD⊥AC1，所以AC1⊥平面A1 B1CD．

（2）如图建立直角坐标系，则D（2，0，0）， ， ， ∴ ，

对平面 AC1D，因为 ，

所以法向量 ，

平面C1CD的法向量为 ，

由 ，得λ=1，

所以 A A1=AC，此时，CD=2， ，

所以

【解析】（1）连接A1C交AC1于E，证明AA1⊥AC，CD⊥AC，推出CD⊥平面A1ACC1 ， 然后证明AC1⊥平面A1 B1CD．（2）如图建立直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面 AC1D的法向量 ，平面C1CD的法向量为 ，通过向量的数量积求出λ=1，然后利用等体积法求解体积即可．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案．