题目内容
定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界.
已知函数.
(1)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围.
已知函数.
(1)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围.
(1) 在的值域为,函数在上不是有界函数;
(2)实数的取值范围为
(2)实数的取值范围为
(1)当时,
因为在上递减,所以,即在的值域为
故不存在常数,使成立
所以函数在上不是有界函数。
(2)由题意知,在上恒成立
,
∴ 在上恒成立
∴
设,,,由得 t≥1,
设,
所以在上递减,在上递增,
在上的最大值为, 在上的最小值为
所以实数的取值范围为。
因为在上递减,所以,即在的值域为
故不存在常数,使成立
所以函数在上不是有界函数。
(2)由题意知,在上恒成立
,
∴ 在上恒成立
∴
设,,,由得 t≥1,
设,
所以在上递减,在上递增,
在上的最大值为, 在上的最小值为
所以实数的取值范围为。
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