Question

【题目】如图，边长为3的正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直， ，且， .

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）所求二面角的余弦值为

【解析】试题分析：（Ⅰ）考查的是直线与平面平行的判定定理.添加辅助线证明过程中可知平面， 平面，所以只需重点是证明 （Ⅱ）考查的是利用平面法向量求二面角的方法.观察图象结合已知可知刚好可建立一个坐标系，从而可得 ， ， ， ，进而可得的法向量 和的法向量 ，最后利用公式求出二面角的余弦值.

试题解析：

（Ⅰ）过作交于，连接因为， ，所以 又，所以故，

所以四边形为平行四边形，故，

而平面， 平面，所以平面；

（Ⅱ）以为坐标原点， 所在方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，

则， ， ，

平面的法向量为，

设平面的法向量为，则，即，

不妨设，则,

所求二面角的余弦值为.

【点晴】

在利用线面平行的的判定定理时不仅要关注两直线直线平行而且另外两个条件（一直线在平面内，一直线在平面外）也不容忽视，大多数情况下这两个条件在作图（添加辅助线）时就可以清楚表达出，一般不需要单独证明，但也不能想当然，要仔细观察，再得出结论.