题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求的方程;
(2)是否存在直线与
相交于
两点,且满足:①
与
(
为坐标原点)的斜率之和为2;②直线
与圆
相切,若存在,求出
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:
(1)由离心率,已知点坐标代入得
及
可解得
得标准方程;
(2)存在性问题,假设直线存在,把
代入
的方程得
,同时设
,则可得
,①
代入得出
的一个等式,再由直线和圆相切又得一个等式,联立可解得
,同时注意直线与椭圆相交的条件,如满足则说明存在.
试题解析:
(1)由已知得,
解得,∴椭圆
的方程为
;
(2)把代入
的方程得:
,
设,则
,①
由已知得,
∴,②
把①代入②得,
即,③
又,
由,得
或
,
由直线与圆
相切,则
④
③④联立得(舍去)或
,∴
,
∴直线的方程为
.
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