Question

11．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$=a，E是AA₁中点；
（Ⅰ）证明：A₁B₁∥平面CDE；
（Ⅱ） 证明：D₁E⊥平面CDE；
（Ⅲ）求三棱锥D₁-CDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明A₁B₁∥CD，即可证明：A₁B₁∥平面CDE；
（Ⅱ）证明：D₁E⊥DE，CD⊥D₁E，CD∩DE=D，即可证明D₁E⊥平面CDE；
（Ⅲ）三棱锥D₁-CDE的体积=$\frac{1}{3}•{D}_{1}E•\frac{1}{2}CD•ED$，即可求三棱锥D₁-CDE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴A₁B₁∥CD，
∵A₁B₁?平面CDE，CD?平面CDE，
∴A₁B₁∥平面CDE；
（Ⅱ）证明：∵AB=BC=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$=a，E是AA₁中点，
∴D₁E=DE=$\sqrt{2}$a，
△DD₁E中，D₁E²+DE²=DD₁²
∴∠D₁ED=90°，
∴D₁E⊥DE，
∵CD⊥D₁E，CD∩DE=D
∴D₁E⊥平面CDE；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）D₁E⊥平面CDE，可得D₁E是三棱锥D₁-CDE的高，
∴三棱锥D₁-CDE的体积=$\frac{1}{3}•{D}_{1}E•\frac{1}{2}CD•ED$=$\frac{1}{3}•\sqrt{2}a•\frac{1}{2}•a•\sqrt{2}a$=$\frac{1}{3}{a}^{3}$．

点评 本题考查线面平行、垂直的判定，考查三棱锥D₁-CDE的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．