Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1-lnx}{x^2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的零点及单调区间；
（Ⅱ）求证：曲线y=$\frac{lnx}{x}$存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y₀＜-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令f（x）=0，求出函数的零点，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）令$g（x）=\frac{lnx}{x}$，求出函数的导数，结合函数的单调性得到得：$ln{x_0}=1-6x_0^2$，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）令f（x）=0，得x=e．故f（x）的零点为e，
$f'（x）=\frac{{（-\frac{1}{x}）•{x^2}-（1-lnx）•2x}}{{{{（{x^2}）}^2}}}=\frac{2lnx-3}{x^3}$（x＞0）．
令 f′（x）=0，解得 $x={e^{\frac{3}{2}}}$．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，${e}^{\frac{3}{2}}$）	${e}^{\frac{3}{2}}$	（${e}^{\frac{3}{2}}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减		递增

所以 f（x）的单调递减区间为$（0，{e^{\frac{3}{2}}}）$，单调递增区间为$（{e^{\frac{3}{2}}}，+∞）$．
（Ⅱ）令$g（x）=\frac{lnx}{x}$．则$g'（x）=\frac{{\frac{1}{x}•x-1•lnx}}{x^2}=\frac{1-lnx}{x^2}=f（x）$，
因为  $f（\frac{1}{2}）=4+4ln2＞4+4×\frac{1}{2}=6$，f（e）=0，且由（Ⅰ）得，f（x）在（0，e）内是减函数，
所以 存在唯一的${x_0}∈（\frac{1}{2}，e）$，使得g′（x₀）=f（x₀）=6．
当x∈[e，+∞）时，f（x）≤0．
所以 曲线$y=\frac{lnx}{x}$存在以（x₀，g（x₀））为切点，斜率为6的切线．
由$g'（{x_0}）=\frac{{1-ln{x_0}}}{x_0^2}=6$得：$ln{x_0}=1-6x_0^2$．
所以 $g（{x_0}）=\frac{{ln{x_0}}}{x_0}=\frac{1-6x_0^2}{x_0}=\frac{1}{x_0}-6{x_0}$．
因为 ${x_0}＞\frac{1}{2}$，所以 $\frac{1}{x_0}＜2$，-6x₀＜-3．
所以 y₀=g（x₀）＜-1．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的零点问题，考查导数的应用，考查曲线的切线问题，是一道中档题．