Question

18．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、200人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取10人在前排就坐，其中高二代表队有5人．
（1）求n的值；
（2）随机从前排就坐的高一和高三两代表队中抽取3人上台抽奖，求前排同一年级代表队都被抽中的概率；
（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x、y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表队中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表队中奖的概率．

Answer 1

分析 （1）根据分层抽样可得$\frac{5}{200}=\frac{10}{100+120+n}$，故可求n的值；
（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；
（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y-1≤0}\\{0≤x≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率

解答 解：（1）由题意可得$\frac{5}{200}=\frac{10}{100+120+n}$，∴n=80；
（2）前排高一共有120×$\frac{5}{200}$=3，高三共有10-=3-5=2人，记高一3人为A，B，C，高三2人为a，b，从前排就坐的高一和高三两代表队中抽取3人上台抽奖的所有基本事件有：ABC，ABa，ABb，ACa，ACb，Aab，BCa，BCb，Bab，Cab共有10个，并且是等可能的，设前排同一年级代表队都被抽中为事件M，其中事件M包含基本事件为ABC，Aab，Bab，Cab共有4种，则P（M）=$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$．
（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，

由条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y-1≤0}\\{0≤x≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$得到的区域为图中的阴影部分
由3x-2y-1=0，令y=0可得x=$\frac{1}{3}$，令y=1可得x=1
∴在x，y∈[0，1]时满足3x-2y-1≤0的区域的面积为S阴=1$-\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）×1=\frac{2}{3}$
∴该代表中奖的概率为$\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查概率与统计知识，考查程序框图、分层抽样、概率、线性规划的计算，确定程序框图解决的问题、概率的类型是关键．