题目内容
【题目】如图,直三棱柱中,
,
,
,外接球的球心为О,点E是侧棱
上的一个动点.有下列判断:
①直线AC与直线是异面直线;
②一定不垂直
;
③三棱锥的体积为定值;
④的最小值为
⑤平面与平面
所成角为
其中正确的序号为_______
【答案】①③④⑤
【解析】
由异面直线的概念判断①;利用线面垂直的判定与性质判断②;找出球心,由棱锥底面积与高为定值判断③;设,列出
关于
的函数关系式,结合其几何意义,求出最小值判断④;由面面成角的定义判断⑤
对于①,因为直线经过平面
内的点
,而直线
在平面
内,且不过点
,所以直线
与直线
是异面直线,故①正确;
对于②,当点所在的位置满足
时,又
,
,
平面
,所以
平面
,又
平面
,所以
,故②错误;
对于③,由题意知,直三棱柱的外接球的球心
是
与
的交点,则
的面积为定值,由
平面
,所以点
到平面
的距离为定值,所以三棱锥
的体积为定值,故③正确;
对于④,设,则
,所以
,由其几何意义,即直角坐标平面内动点
与两定点
,
距离和的最小值知,其最小值为
,故④正确;
对于⑤,由直棱柱可知,
,
,则
即为平面
与平面
所成角,因为
,
,所以
,故⑤正确;
综上,正确的有①③④⑤,
故答案为:①③④⑤
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