题目内容
【题目】如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的,其中∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°.
(1)求证:BD⊥平面ADG;
(2)求此多面体的全面积.
【答案】
(1)证明:在△BAD中,∵AB=2AD=2,∠BAD=60°,
∴由余弦定理可得BD= ,
则AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD.
在直平行六面体中,GD⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
∴GD⊥BD,
又AD∩GD=D,∴BD⊥平面ADG;
(2)解:由已知可得,AG∥EF,AE∥GF,
∴四边形AEFG为平行四边形,
GD=AD=1,∴EF=AG= .
EB=AB=2,∴GF=AE=2 .
过G作GH∥DC交CF于H,得FH=2,∴FC=3.
过G作GM∥DB交BE于M,得GM=DB= ,ME=1,∴GE=2.
cos∠GAE= ,∴sin∠GAE=
.
.
该几何体的全面积S= .
【解析】(1)在△BAD中,由余弦定理求得BD= ,可得AB2=AD2+BD2,得AD⊥BD.再由已知可得CD⊥BD,由线面垂直的判定可得BD⊥平面ADG;(2)由已知可得,AG∥EF,AE∥GF,得四边形AEFG为平行四边形,然后求出各面面积得答案.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想).
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