题目内容

16.已知f(x)是二次函数,且f(-1)=4,f(0)=1,f(3)=4.
(1)求f(x)的解析式.
(2)求f(x)在[t,t+1],t∈R上的最小值.

分析 (1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,由题意可得a,b,c的方程组,解方程组可得;
(2)由二次函数区间的最值,分类讨论可得.

解答 解:(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f(-1)=a-b+c=4}\\{f(0)=c=1}\\{f(3)=9a+3b+c=4}\end{array}\right.$,
解方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=1}\end{array}\right.$,
∴f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+1;
(2)由(1)可得f(x)=x2-2x+1=(x-1)2
当t+1≤1即t≤0时,函数f(x)在[t,t+1]单调递减,
∴当x=t+1时,函数f(x)取最小值f(t+1)=t2
当t≥1时,函数f(x)在[t,t+1]单调递增,
∴当x=t时,函数f(x)取最小值f(t+1)=(t-1)2
当0<t<1时,函数f(x)在[t,1]单调递减,在[1,t+1]单调递增
∴当x=1时,函数f(x)取最小值f(1)=0

点评 本题考查函数解析式求解的待定系数法求,涉及二次函数区间的最值和分类讨论的思想,属中档题.

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