Question

5．设定数A，B，C使得不等式A（x-y）（x-z）+B（y-z）（y-x）+C（z-x）（z-y）≥0对一切实数x，y，z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件）

Answer 1

分析 由题意得到A（x-y）²+（a-b+c）（x-y）（y-z）+C（y-z）²≥0，其为（x-y），（y-z）的二次齐次式，A≥0，从而得到充分必要条件．

解答 解：A（x-y）（x-z）+B（y-z）（y-x）+C（z-x）（z-y）≥0对任何x，y，z都成立，
令y=z，A（x-y）²≥0，A≥0，同理：B≥0，C≥0，
A（x-y）（x-z）+B（y-z）（y-x）+C（z-x）（z-y）
=A（x²-xy-xz+yz）-B（x-y）（y-z）+C（z²-xz-yz+xy）
=A（x²-2xy+y²）+A（xy-y²-xz+yz）-B（x-y）（y-z）+C（y²-2yz+z²）+C（yz-y²-xz+xy）
=A（x-y）²+A（x-y）（y-z）-B（x-y）（y-z）+C（y-z）²+C（x-y）（y-z）
=A（x-y）²+（A-B+C）（x-y）（y-z）+C（y-z）²≥0
上式为（x-y），（y-z）的二次齐次式，A≥0，值为非负的充要条件：
△=（A-B+C）²-4AC=0，C≥0．

点评 本题考查了充分必要条件，考查导数的性质，判别式的应用，是一道中档题．