题目内容
【题目】已知直线l:与曲线C:
(
,
)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.
(1)若,
,求证:曲线C是一个圆;
(2)若曲线C过、
,是否存在一定点Q,使得
为定值?若存在,求出定点Q和定值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,定点,
【解析】
(1)设直线l与曲线C的交点为,
,由两点间距离公式及
可得
,将A,B代入曲线方程,作差化简变形即可证明
,因而可知曲线C是一个圆;
(2)由曲线C过、
,可得曲线C为椭圆,且求得标准方程,假设存在点
,设交点为
,
,联立直线与椭圆,并由韦达定理表示出
,
,由平面向量数量积的坐标运算,代入化简即可确定所过定点坐标,亦可求得
的值.
(1)证明:设直线l与曲线C的交点为,
,
即
,
∴
∵A,B在曲线C上,
∴,
,
∴两式相减得
∴即
,所以
,
∴曲线C是一个圆.
(2)由题意知,椭圆C的方程为,
假设存在点 ,设交点为
,
,
由得,
,
,
,
直线l:恒过椭圆内定点
,故
恒成立.
当时,即
,
时
,
故存在定点,不论k为何值,
为定值.
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