题目内容
【题目】已知圆,圆
,动圆
与圆
外切并与圆
内切,圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求的方程;
(2)若直线与曲线
交于
两点,问是否在
轴上存在一点
,使得当
变动时总有
?若存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题(1)利用椭圆定义求轨迹方程:先由动圆与圆
外切并与圆
内切,得
,从而
,再由椭圆的定义可知,曲线
是以
为左右焦点,长半轴长为2,短半轴为
的椭圆(左顶点除外),其方程为
(2)条件
就是
,利用坐标化简得:设
,则
,再联立直线方程与椭圆方程,消去y,利用韦达定理得
,代入化简得
试题解析:(1)得圆的圆心为
,半径
;圆
的圆心
,半径
.设圆
的圆心为
,半径为
.因为圆
与圆
外切并与圆
内切,所以
由椭圆的定义可知,曲线是以
为左右焦点,长半轴长为2,短半轴为
的椭圆(左顶点除外),其方程为
(2)假设存在满足
.设
联立得
,由韦达定理有
①,其中
恒成立,
由(显然
的斜率存在),故
,即
②,
由两点在直线
上,故
代入②得:
即有
③
将①代入③即有:④,要使得④与
的取值无关,当且仅当“
”时成立,综上所述存在
,使得当
变化时,总有
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