题目内容
（本小题14分）
如图2,在四面体
中,
且
(1)设
为
的中点,证明:在
上存在一点
,使
,并计算
的值;
(2)求二面角
的平面角的余弦值. 
如图2,在四面体
中,且(1)设
为的中点,证明:在上存在一点,使,并计算的值;(2)求二面角
的平面角的余弦值. 解法一:（1）在平面
内作
交于
，连接
.…………1分
又
， 
， 
。
取为
的中点，则
…………4分
在等腰
中，
， 
在
中，
，
……4分
在
中，
， 
…5分
…………8分
（2）连接
，
由
，
知：
.
又
，
又由，
.
又
,
又
是
的中点,
,
,
,
为二面角
的平面角 …………10分
在等腰
中，
，
在中，
，
在
中, 
. …………12分
…………14分
解法二：在平面
中,过点
,作
交
于
,取
为坐标原点，分别以
，
,
所在的直线为
轴，
轴,
轴，建立空间直角坐标系
（如图所示） …………1分
则
为
中点，
…………2分
设
.
即
，
. …………6分
所以存在点
使得
且
. …………8分
（2）记平面
的法向量为
,则由
，
，且
，
得
， 故可取
…………10分
又平面
的法向量为
. …………11分
. …………13分
二面角的平面角是锐角，记为
，则
…………14分
内作交于，连接.…………1分又
， ， 。 取
为的中点，则 …………4分在等腰
中，， 在
中，， ……4分在
中，， …5分 …………8分（2）连接
，由
，知：.又
，又由
，.又
,又
是的中点,,,,为二面角的平面角 …………10分在等腰
中，，在
中，，在中, . …………12分 …………14分解法二：在平面
中,过点,作交于,取为坐标原点，分别以，,所在的直线为轴，轴,轴，建立空间直角坐标系 （如图所示） …………1分则
为中点， …………2分设
. 即，. …………6分所以存在点
使得 且. …………8分（2）记平面
的法向量为,则由，，且，得
， 故可取 …………10分又平面
的法向量为. …………11分. …………13分二面角
的平面角是锐角，记为，则 …………14分略
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的法向量
，平面
的法向量
，若
，则k的值为
，则向量
的夹角为
中，底面是等腰直角三角形，
，侧棱
，D，E分别是
与
的中点，点E在平面ABD上的射影是
的重心G．则
，且l的方向向量为(2, m, 1), 平面
, 2), 则m= .