Question

2．已知数列{a_n}满足a_n=$\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}$（k为常数）．
（1）若数列{a_n是等差数列，求k的值；
（2）若k≠2，求数列{a_n}中的最大项和最小项；
（3）若a_n＞$\frac{k{2}^{n}+（-1）^{n}}{{2}^{n}}$，对任意的n∈N^*恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）方法一：根据等差中项的性质得：2a_n=a_n+1+a_n-1，将a_n=$\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}$代入化简求出k的值；
方法一：由a_n=$\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}$分别求出前三项，再由等差中项的性质列出方程，求出k的值；
（2）利用分离常数法化简a_n=$\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}$为a_n=k+$\frac{\frac{3}{2}k-3}{n-\frac{3}{2}}$，对$\frac{3}{2}k-3$进行分类讨论，利用一次函数的单调性分别数列{a_n}的单调性，分别求出数列{a_n}中的最大项和最小项；
（3）由（2）和题意将已知的不等式转化为：$\frac{\frac{3}{2}k-3}{n-\frac{3}{2}}＞\frac{{（-1）}^{n}}{{2}^{n}}$对任意的正整数n恒成立，再对n进行分类讨论，根据作差法和n的取值范围分别求出k的取值范围．

解答 解：（1）方法一：∵数列{a_n}为等差数列，
∴当n≥2时，2a_n=a_n+1+a_n-1…（2分）
∴$2•\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}=\frac{k（n+1）-3}{（n+1）-\frac{3}{2}}+\frac{k（n-1）-3}{（n-1）-\frac{3}{2}}$，
整理得k=2…（4分）
方法二：a₁=-2k+6，a₂=4k-6，a₃=2k-2，
∵数列{a_n}为等差数列，∴2a₂=a₁+a₃，
即8k-12=-2k+6+2k-2，∴k=2…（2分）
当k=2时，a_n=2，数列{a_n}为公差为0的等差数列．
∴数列{a_n}为等差数列，k=2…（4分）
（2）由题意得，a_n=$\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}$=k+$\frac{\frac{3}{2}k-3}{n-\frac{3}{2}}$，
①当$\frac{3}{2}k-3＞0$，即k＞2时，
当n=1时，a₁=k-（3k-6）=-2k+6＜k，
当n≥2时，数列{a_n}单调递减，a₂=k+（3k-6）=4k-6＞a₃＞a₄＞…＞a_n＞k，
∴k＞2时，最小项为a₁，最大项为a₂…（7分）
②当$\frac{3}{2}k-3＜0$，即k＜2时，
当n=1时，a₁=-2k+6＞k，
当n≥2时，数列{a_n}单调递增，a₂=k+（3k-6）=4k-6＜a₃＜a₄＜…＜a_n＜k，
∴k＜2时，最小项为a₂，最大项为a₁
综上所述，当k＞2时，最小项为a₁，最大项为a₂；
k＜2时，最小项为a₂，最大项为a₁…（10分）
（3）∵a_n＞$\frac{k{2}^{n}+{（-1）}^{n}}{{2}^{n}}$，∴a_n=$\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}$=k+$\frac{\frac{3}{2}k-3}{n-\frac{3}{2}}$＞k+$\frac{（-1）^{n}}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}k-3}{n-\frac{3}{2}}＞\frac{{（-1）}^{n}}{{2}^{n}}$对任意的正整数n恒成立．
（i）当n为偶数时，$\frac{3}{2}k-3＞（n-\frac{3}{2}）•\frac{1}{{2}^{n}}$，
令f（n）=$（n-\frac{3}{2}）•\frac{1}{{2}^{n}}$（n为正偶数），
∴f（n+1）-f（n）=$（n+2-\frac{3}{2}）•\frac{1}{{2}^{n+2}}$-$（n-\frac{3}{2}）•\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{-3n+\frac{13}{2}}{{2}^{n+2}}$，
显然得f（2）＜f（4）＞f（6）＞f（8）＞f（10）＞…，
∴$\frac{3}{2}k-3＞f（4）=\frac{5}{32}$，∴k＞$\frac{101}{48}$…（13分）
（ii）当n为奇数时，
当n=1时，$\frac{\frac{3}{2}k-3}{1-\frac{3}{2}}＞-\frac{1}{2}$，k＜$\frac{13}{6}$…（14分）
当取n≥3的奇数时，$\frac{3}{2}k-3＞（n-\frac{3}{2}）•\frac{（-1）^{n}}{{2}^{n}}$，不等式右边恒小于0，
∴$\frac{3}{2}k-3≥0$，∴k≥2，
综上所述：$\frac{101}{48}＜k＜\frac{13}{6}$…（16分）

点评 本题考查等差中项的性质，数列的函数特性，以及数列的单调性的应用，考查分类讨论思想和转化思想，以及变形化简能力，综合性强、难度大．