题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求函数
的极值点;
(2)若,函数
有两个极值点
,
,且
,求
的最小值。
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)求出,分两种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间,根据函数的单调性可得函数的极值;(2)
,记
,
,利用导数研究函数的单调性,由单调性可求得
,从而可得结果.
(1)的定义域为
,
,
①若,则
,
所以当时,
,所以
在
上单调递增,
所以无极值点.
②若,则
,
由得
,
.
当的值变化时,
,
的值的变化情况如下:
所以有极大值点
,极小值点
.
(2)由(1)及条件可知
,
且,
,即
,
,
所以
,
记,
,
因为当时,
,
所以在
上单调递减, 因为
,
所以,即
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学(男
女
),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | |||
女同学 | |||
总计 |
(1)能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在
分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
(3)现从选择做几何的名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为
,求
的分布列及数学期望
.
【题目】有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习,假设该名牌大学有以下条件之一均可录取:①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队(集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔);②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线,③2020年6月高考达到该校录取分数线(该校录取分数线高于重点线),该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表
省数学竞赛一等奖 | 自主招生通过 | 高考达重点线 | 高考达该校分数线 |
0.5 | 0.6 | 0.9 | 0.7 |
若该学生数学竞赛获省一等奖,则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队,则提前录取,若未被录取,则再按②、③顺序依次录取:前面已经被录取后,不得参加后面的考试或录取.(注:自主招生考试通过且高考达重点线才能录取)
(1)求该学生参加自主招生考试的概率;
(2)求该学生参加考试的次数的分布列及数学期望;