Question

【题目】已知函数f(x)＝.

(1) 若不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，求实数k的取值范围；

(2) 当x∈ (m>0，n>0)时，函数g(x)＝tf(x)＋1(t≥0)的值域为[2－3m，2－3n]，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) k≤1;(2) (0，1)．

【解析】试题分析：（1）把f(x)＝代入，化简得k≤x在[1，3]上恒成立，所以k≤1。（2）g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t＋1，又x∈ (m>0，n>0)，所以g(x)在单调递增，所以即，即m，n是关于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的两个不等的正根。由根的分布，可得，解得0<t<1。

试题解析：(1) ∵ xf(x)＋＝＋＝x，

∴ 不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，即为k≤x在[1，3]上恒成立．

∴ k≤1.

(2) ∵ g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t＋1，

若t＝0，则g(x)＝1，不合题意，∴ t>0.

又当t>0时，g(x)＝－＋t＋1在上显然是单调增函数，

∴即

∴ m，n是关于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的两个不等的正根．

令h(x)＝tx2－3x＋1－t，则

解得0<t<1.

∴ 实数t的取值范围是(0，1)．