题目内容

如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别是AB′,BC′的中点. 
(1)若M为BB′的中点,证明:平面EMF∥平面ABCD.
(2)求异面直线EF与AD′所成的角.
分析:(1)△ABB'中,利用中位线得到EM∥AB,结合线面平行的判定定理,可得EM∥平面ABCD,同理可得FM∥平面ABCD,最后根据面面平行的判定定理,可证出平面EMF∥平面ABCD;
(2)连接AC、CD'、B'C,△B'AC中,利用中位线得到EF∥AC,∠D'AC或其补角即为EF与AD'所成的角,然后在等边三角形ACD'中,可得∠D'AC=60°,即为异面直线EF与AD′所成的角.
解答:解:(1)∵△ABB'中,E、M分别是AB'、BB'的中点,
∴EM∥AB
∵EM?平面ABCD且AB⊆平面ABCD
∴EM∥平面ABCD,同理可得FM∥平面ABCD,
∵EM、FM是平面EMF内的相交直线
∴平面EMF∥平面ABCD.(6分)
  (2)连接AC、CD'、B'C
∵△B'AC中,EF是中位线
∴EF∥AC,可得∠D'AC或其补角即为EF与AD'所成的角
∵正方体ABCD-A'B'C'D'中,AD'、AC、CD'都是面上的对角线
∴设正方体棱长为a,则AD'=AC=CD'
2
a
所以等边三角形ACD'中,∠D'AC=60°
∴异面直线EF与AD′所成的角60°(6分)
点评:本题以正方体为载体,求证面面平行并且求异面直线所成的角,着重考查了异面直线所成角的求法和面面平行的判定定理等知识,属于基础题.
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