Question

9．求下列函数的值域：
（1）y=x+$\sqrt{1-2x}$
（2）y=$\sqrt{{x}^{2}-2x-3}$
（3）y=$\frac{1}{{x}^{2}+2x+3}$．

Answer 1

分析 （1）可换元，令$\sqrt{1-2x}=t$，t≥0，解出x带入原函数便可得到关于t的二次函数，配方求该二次函数的值域即可；
（2）配方得到x²-2x-3=（x-1）²-4，从而可以得出x²-2x-3≥0，从而可得出$\sqrt{{x}^{2}-2x-3}$的范围，即得出原函数的值域；
（3）配方得到x²+2x+3=（x+1）²+2≥2，从而可以得出$\frac{1}{{x}^{2}+2x+3}$的取值范围，即得出原函数的值域．

解答 解：（1）令$\sqrt{1-2x}=t$，t≥0，则x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$；
∴$y=\frac{1-{t}^{2}}{2}+t$=$-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$；
∵t≥0；
∴y≤1；
∴原函数的值域为：（-∞，1]；
（2）x²-2x-3=（x-1）²-4；
∴x²-2x-3≥0；
∴y≥0；
∴该函数的值域为：[0，+∞）；
（3）x²+2x+3=（x+1）²+2≥2；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+2x+3}≤\frac{1}{2}$；
即0$＜y≤\frac{1}{2}$；
∴该函数的值域为$（0，\frac{1}{2}]$．

点评 考查函数值域的概念，换元法将函数中的根号去掉，配方求二次函数值域的方法，根据不等式的性质求函数的值域，要熟悉二次函数图象．