题目内容
【题目】已知a>0且a≠1,函数f(x)= (a﹣x﹣ax),g(x)=﹣ax+2.
(1)指出f(x)的单调性(不要求证明);
(2)若有g(2)+f(2)=3,求g(﹣2)+f(﹣2)的值;
(3)若h(x)=f(x)+g(x)﹣2,求使不等式h(x2+tx)+h(4﹣x)<0恒成立的t的取值范围.
【答案】
(1)解:由题意:函数f(x)= (a﹣x﹣ax),
①当0<a<1时, 递减,
②当a>1时, 递减,
∴当且a>0且a≠1时,f(x)是减函数
(2)解:由题意g(x)=﹣ax+2.
设h(x)=f(x)+g(x)﹣2,则:h(x)= ,其定义域为R,关于原点对称,
h(﹣x)= =
=﹣[
]=﹣h(x)
∵h(﹣x)=﹣h(x),
∴h(x)是定义域为R的奇函数.
∵g(2)+f(2)=3,则:h(2)=1,
∴h(﹣2)=﹣1,即:g(2)+f(2)﹣2=﹣1
所以g(2)+f(2)=1
(3)解:由(2)知h(x)是定义域为R的奇函数,且在R上为减函数,
由h(x2+tx)+h(4﹣x)<0,则有:h(x2+tx)<h(﹣4+x)
∴x2+tx>x﹣4,即x2+(t﹣1)x+4>0 恒成立,
∴△=b2﹣4ac=(t﹣1)2﹣16<0
解得:﹣3<t<5,
故得t的取值范围是(﹣3,5)
【解析】(1)利用指数函数的单调性,对底数a讨论,即可单调性.(2)令f(x)+g(x)﹣2=h(x).证明其奇偶性,利用奇偶性求值.(3)利用(1)(2)中的结论,将不等式转化为二次函数恒成立问题,即可求解t的取值范围.
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