题目内容

【题目】若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(x+1)﹣f(x)=4x+1,且f(0)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(2x),求g(x)在[﹣3,0]的最大值与最小值.

【答案】
(1)解:由f(0)=3,得c=3,

∴f(x)=ax2+bx+3.

又f(x+1)﹣f(x)=4x+1,

∴a(x+1)2+b(x+1)+3﹣(ax2+bx+3)=4x+1,

即2ax+a+b=4x+1,

∴f(x)=2x2﹣x+3


(2)解:g(x)=f(2x)=222x﹣2x+3,

令2x=t,

∴h(t)=2t2﹣t+3,

时,g(x)max=h(t)max=h(1)=2﹣1+3=4,

g(x)min=h(t)min=h( )= +3=


【解析】(1)根据待定系数法即可求出函数的解析式,(2)利用换元法和函数的性质即可求出最值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减.

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