题目内容
【题目】已知椭圆C方程为 (a>b>0),左、右焦点分别是F1 , F2 , 若椭圆C上的点P(1, )到F1 , F2的距离和等于4. (Ⅰ)写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(Ⅱ)设点Q是椭圆C的动点,求线段F1Q中点T的轨迹方程;
(Ⅲ)直线l过定点M(0,2),且与椭圆C交于不同的两点A,B,若∠AOB为锐角(O为坐标原点),求直线l的斜率k0的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由题意得:2a=4,得a=2, 又点P(1, )在椭圆 上,
∴ ,解得b2=1.
∴椭圆C的方程为 ,焦点 ;
(Ⅱ)设椭圆上的动点Q(x0 , y0),线段F1Q中点T(x,y),
由题意得: ,得 ,代入椭圆的方程得 ,
即 为线段F1Q中点T的轨迹方程;
(Ⅲ)由题意得直线l的斜率存在且不为0,
设l:y=kx+2,代入 整理,
得(1+4k2)x2+16kx+12=0,
△=(16k)2﹣4(1+4k2)12=16(4k2﹣3)>0,得 …①
设A(x1 , y1),B(x2 , y2),∴ .
∵∠AOB为锐角,
∴cos∠AOB>0,则 ,
又 .
∴
=
= ,
∴k2<4 …②
由①、②得 .
∴k的取值范围是 .
【解析】(Ⅰ)由题意得到椭圆的半长轴长,把点P的坐标代入椭圆方程求得b,则椭圆方程可求;(Ⅱ)设出Q和T的坐标,由中点坐标公式把Q的坐标用T的坐标表示,代入椭圆方程可得线段F1Q中点T的轨迹方程;(Ⅲ)联立直线和椭圆方程,化为关于x的应用二次方程,由判别式大于0及 求解直线l的斜率的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:.