题目内容

(2008•湖北模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是矩形,且AD=
2
AB
,AB=AP,PA⊥底面ABCD,E为AD的中点,F为PC的中点.
(1)求证:EF为AD及PC的公垂线(2)求直线BD与平面BEF所成的角.
分析:方法一:(1)利用空间向量,欲证EF为AD及PC的公垂线,因为E,F两点分别在AD,PC上,只需证明
AD
EF
=0
PC
EF
=0
,建立空间直角坐标系,用向量的数量积公式计算即可.
(2)欲求直线BD与平面BEF所成的角,只需把求出EF的方向向量与平面BEF的法向量所成的角,则求直线BD与平面BEF所成的角等于该角或其补角.
方法二:(1)欲证EF为AD及PC的公垂线,因为E,F两点分别在AD,PC上,只需证明EF⊥PC,EF⊥AD,连接FO、OE、EP、EC,通过够造的三角形EPC为等腰三角形,证明EF⊥PC,利用三垂线定理证明EF⊥AD.
(2)欲求直线BD与平面BEF所成的角,只需找到直线BD在平面BEF上的射影,则BD与它的射影所成角即为所求.过O作OH⊥平面EFB于H,连BH,∠OBH为所求BD与平面EFB所成的角,再利用等体积法求出OH即可.
解答:解;方法一:
设AB=1,则AD=
2

(1)A(0,0,0)B(0,1,0)C(
2
,1,0)
D(
2
,0,0)
E(
2
2
,0,0)
P(0,0,1)F(
2
2
1
2
1
2
)
AD
=(
2
,0,0)    
PC
=(
2
,1,-1)
 
EF
=(0,
1
2
1
2
)

AD
EF
=0
 
PC
EF
=-
1
2
+
1
2
=0

∴AD⊥EF    PC⊥EF
故PC为AD及EF的公垂线                            
(2)
EB
=(-
2
2
,1,0)
 
PC
EB
=-1+1+0=0

∴PC⊥EB∴PC⊥平面EFB故
PC
可看成平面EFB的法向量
sinα=
PC
 •
BD
|
PC
||
BD
|
=
2-1
3
=
3
6

方法二:
(1)连FO、OE、EP、EC∵EP2=EA2+AP2 EC2=ED2+CD2
又∵AB=AP=CD    EA=ED∴EP=EC
又∵F为PC的中点∴EF⊥PC
又∵OF∥AP∴OF⊥平面ABCD
而OE⊥AD∴EF⊥AD
故EF为AD及PC的公垂线                             
(2)过O作OH⊥平面EFB于H,连BH,∠OBH为所求BD与平面EFB所成的角                                                
AD=
2
AB=1EF2=(
1
2
)2+(
1
2
)2=
1
2
BF2=(
1
2
)2+(
3
2
)2=1

∴EF2+BF2=BE2∴VO-EFB=VF-OEB
1
3
×
1
2
×
2
2
×1×OH=
1
3
×
1
2
×
2
2
×
1
2
×
1
2

OH=
1
4
sin∠OBH=
1
4
3
2
=
3
6
点评:本题主要考查了两异面直线公垂线的判断,以及直线与平面所成角的求法,综合考查了学生的识图能力,空间想象力,计算能力.
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