Question

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有＋…＋＝，记S_n为数列{a_n}的前n项和．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若b_n＝3ⁿ＋(－1)^n－1λ·2a_n(λ为非零常数，n∈N^*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N^*，都有b_n＋1>b_n.

Answer 1

（1）a_n＝n（2）存在整数λ＝－1

(1)在已知式中，当n＝1时，＝，∵a₁>0，∴a₁＝1，当n≥2时，＋＋＋…＋＝，①
＋…＋＝，②
①－②得，＝－＝(S_n－S_n－1)(S_n＋S_n－1)，
∵a_n>0，∴＝S_n＋S_n－1＝2S_n－a_n，③
∵a₁＝1适合上式
当n≥2时，＝2S_n－1－a_n－1，④
③－④得－＝2(S_n－S_n－1)－a_n＋a_n－1＝2a_n－a_n＋a_n－1＝a_n＋a_n－1.
∵a_n＋a_n－1>0，∴a_n－a_n－1＝1，∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a_n＝n.
(2)由(1)知：b_n＝3ⁿ＋(－1)^n－1λ·2ⁿ
∴b_n＋1－b_n＝[3^n＋1＋(－1)ⁿλ·2^n＋1]－[3ⁿ＋(－1)^n－1λ·2ⁿ]＝2·3ⁿ－3λ(－1)^n－1·2ⁿ>0
∴(－1)^n－1·λ<^n－1，⑤
当n＝2k－1，k＝1,2,3，…时，⑤式即为λ<^2k－2，⑥
依题意，⑥式对k＝1,2,3，…都成立，∴λ<1，
当n＝2k，k＝1,2,3，…时，⑤式即为λ>－^2k－1，⑦
依题意，⑦式对k＝1,2,3，…都成立，
∴λ>－，∴－<λ<1，又λ≠0，∴存在整数λ＝－1，使得对任意n∈N^*，都有b_n＋1>b_n.