Question

【题目】如图，一段南北两岸互相平行、宽度为的景观河.靠南岸水域有一半径为半圆形亲水平台，圆心在南岸边上，北岸边有一风雨亭（底座大小忽略不计），风雨亭距位于北岸边上的点（在的正北方，在的右侧）.为了方便市民休闲，现决定修建折线型步行栈道（图中粗线所示），其中与圆相切，段的造价为4万元/，段和段分别在南北两岸边上（其中为半圆的一条直径的左端点），段和段的造价都为2万元/.记为，.

（1）若，求栈道段的长；

（2）设三段栈道总造价为，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）万元.

【解析】

（1）设直线与圆切于，过做，垂足为，，在中分别求出，即可求解；

（2）由（1）得，在中，求出，求出总造价，根据函数特征，利用导数法求出极小值，进而求出其最小值.

（1）设直线与圆切于，过做，垂足为，

在中，，

在中，，

，

当时，；

（2）由（1）得，，

在中，，

令，当单调递减，

当单调递增，

所以当时，取得极小值，也是最小值，

此时，

最小值为万元.