题目内容
19．已知函数f（x）=2x3-9x2+12x+8a．（1）若a=2，求f（x）的极大值和极小值；
（2）若对任意的x∈[0，4]，f（x）＜4a2恒成立，求a的取值范围．
分析 （1）求出导数，求出单调区间，求得极值；
（2）对任意的x∈[0，4]，f（x）＜4a2恒成立，即为对任意的x∈[0，4]，f（x）max＜4a2．求得f（x）在[0，4]上的最大值，即可得到a的取值范围．
解答 解：（1）函数f（x）=2x3-9x2+12x+8a的导数为f′（x）=6x2-18x+12，
当x＞2或x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x=1处取得极大值，且为5+8a，
在x=2处取得极小值，且为4+8a；
（2）任意的x∈[0，4]，f（x）＜4a2恒成立，即为
任意的x∈[0，4]，f（x）max＜4a2．
由f（x）在[0，1]，[2，4]递增，在[1，2]递减，
f（0）=8a，f（1）=5+8a，f（2）=4+8a，f（4）=32+8a，
即有4a2＞32+8a，
解得a＞4或a＜-2．
则a的取值范围是（-∞，-2）∪（4，+∞）．
点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查求极值、最值的方法，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．
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4．若三棱锥A-BCD中所有的棱长都相等，则二面角A-BC-D的大小的余弦值为（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{2\sqrt{6}}{9}$ | D． | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ |
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=PA=1，E为侧棱PA上的点，$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{PA}$（0＜λ＜1）．