Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=PA=1，E为侧棱PA上的点，$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{PA}$（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）证明：BD⊥CE；
（Ⅱ）当λ=$\frac{1}{3}$时，求两面角A-CE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，通过ABCD为正方形、PA⊥底面ABCD及线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，利用CE?平面PAC即得结论；
（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值即为平面DCE的法向量与平面ACE的法向量的夹角的余弦值，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：连结AC，∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
∵E为侧棱PA上的点，∴CE?平面PAC，
∴BD⊥CE；
（Ⅱ）解：以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
∵λ=$\frac{1}{3}$，PA=1，$\overrightarrow{PE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PA}$，∴AE=$\frac{2}{3}$，
∴E（0，0，$\frac{2}{3}$），B（1，0，0），A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
∴$\overrightarrow{DC}$=（1，0，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，-1，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-1，1，0），
设平面DCE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{-y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，
取z=3，得$\overrightarrow{m}$=（0，2，3），
∵$\overrightarrow{BD}$=（-1，1，0）是平面ACE的法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{26}}{13}$，
∴二面角A-CE-D的余弦值为$\frac{\sqrt{26}}{13}$．

点评 本题考查空间中线线之间的位置关系，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．