Question

11．对于连续可导的函数y=f（x），下列说法正确的个数是（　　）
①在区间[a，b]上，函数y=f （x）的极大值一定不小于极小值．
②y=f （x）在区间[a，b]上的最大值一定是y=f （x）在区间[a，b]上的极大值．
③如果f′（x₀）=0，那么x=x₀是函数y=f（x）极值点．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由极大值和极小值的概念，只是针对邻域而言，就有可能存在比极大值大的极小值，即可判断①；
函数的最值不一定是极值，可能是函数的区间端点取得的函数值，即可判断②；
可举函数f（x）=x³，有f′（x）=3x²，f′（0）=0，但x=0不为极值点，即可判断③．

解答 解：对于①，极大值、极小值是在邻域内定义的，就是在极值点的左右，非常短的距离内，
但是在整个定义域内，就有可能存在比极大值大的极小值．极值只是针对邻域内，不是针对整个定义域．
故函数y=f （x）的极大值一定不小于极小值，故①错误；
对于②，函数的最值不一定是极值，可能是函数的区间端点取得的函数值，因此②错误；
对于③，若f′（x₀）=0，则x=x₀为函数f（x）取得极值的必要非充分条件，比如函数f（x）=x³，
有f′（x）=3x²，f′（0）=0，但x=0不为极值点，故③错误．
故选A．

点评 本题考查极值的概念，以及与最值的关系，和取得极值的条件，属于基础题和易错题．