题目内容
【题目】已知椭圆过点
,顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为
,点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)已知点,是椭圆
上的两点.
(ⅰ)若,且
为等边三角形,求
的面积;
(ⅱ)若,证明:
不可能为等边三角形.
【答案】(I);(II)详见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据面积公式得到,以及点在曲线上,代入得到
,以及
,求得
;(Ⅱ)(ⅰ)根据等边三角形的性质,可得直线
的倾斜角是
或
,这样求得直线
的方程,联立椭圆方程,得到点
的坐标,求得面积;(ⅱ)因为
,所以斜率存在,设直线
的方程是
,与椭圆方程联立,得到根与系数的关系,并且表示线段
中点
的坐标,若是等边三角形,则
,可求得
,不合题意.
试题解析:(Ⅰ)依题意, ,
,联立两式,解得
,
,故椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)(ⅰ)由且
为等边三角形及椭圆的对称性可知,直线
和直线
与
轴的夹角为
,由
可得
.
即或
,当
时,
的面积为
;
当时,
的面积为
.
(ⅱ)因为,故直线
斜率存在,设直线
,
中点为
,联立
消去
得,
由得到
,①
所以,
,
所以.
又,若
为等边三角形,则有
,
即,即
,化简得
,②
由②得点横坐标为
,不合题意.
故不可能为等边三角形.
(用点差法求点坐标也可)
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