Question

5．已知圆O：x²+y²=2，直线l：y=kx-2．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=$\frac{π}{2}$时，求k的值．
（2）若EF、GH为圆O：x²+y²=2的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求四边形EGFH的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意结合圆的弦心距、半径和弦长间的关系列式求得k值；
（2）设出圆心O到直线EF、GH的距离分别为d₁，d₂，由圆的弦心距、半径和弦长间的关系把|EF|、|GH|用圆心O到直线EF、GH的距离分别为d₁，d₂表示，代入四边形EGFH的面积公式，然后利用基本不等式求得最值．

解答 解：（1）∵∠AOB=$\frac{π}{2}$，∴点O到l的距离$d=\frac{\sqrt{2}}{2}r$，
∴$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{2}$，解得k=$±\sqrt{3}$；
（2）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d₁，d₂．
则${{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}=|OM{|}^{2}=\frac{3}{2}$，
∴$|EF|=2\sqrt{{r}^{2}-{{d}_{1}}^{2}}=2\sqrt{12-{{d}_{1}}^{2}}$，|GH|=$2\sqrt{{r}^{2}-{{d}_{2}}^{2}}=2\sqrt{2-{{d}_{2}}^{2}}$，
∴$S=\frac{1}{2}|EF||GH|=2\sqrt{（2-{{d}_{1}}^{2}）（2-{{d}_{2}}^{2}）}$$≤2-{{d}_{1}}^{2}+2-{{d}_{2}}^{2}=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$．
当且仅当$2-{{d}_{1}}^{2}=2-{{d}_{2}}^{2}$，即${d}_{1}={d}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，取“=”．
∴EGFH面积S的最大值为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查直线与圆的方程关系的应用，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．