Question

10．已知函数f（x）定义域是$\{x\left|x\right.≠\frac{t}{2}，t∈Z，x∈R\}$，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，当-1＜x＜-$\frac{1}{2}$时，f（x）=-2^-x．
（Ⅰ）证明：f（x）为奇函数；
（Ⅱ）求f（x）在$（\frac{1}{2}，1）$上的表达式；
（Ⅲ）是否存在正整数t，使得$x∈（3t+\frac{1}{2}，3t+1）$时，log₂f（x-3t）＞x²-2tx-3t有解，若存在求出t的值，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$便可得出f（x）=f（x+2），从而由f（x）+f（2-x）=0便可得出f（-x）=-f（x），从而得出f（x）为奇函数；
（Ⅱ）可设$x∈（\frac{1}{2}，1）$，从而有$-x∈（-1，-\frac{1}{2}）$，从而可得出f（-x）=-2^x，这样即可得出f（x）在$（\frac{1}{2}，1）$上的表达式为f（x）=2^x；
（Ⅲ）可假设存在正整数t，使得$x∈（3t+\frac{1}{2}，3t+1）$即$x-3t∈（\frac{1}{2}，1）$时，不等式$lo{g}_{2}f（x-3t）＞{x}^{2}-2tx-3t$有解，从而得出不等式x-3t＞x²-2tx-3t有解，进一步得到x²-（2t+1）x＜0有解，从而便可得到$（0，2t+1）∩（3t+\frac{1}{2}，3t+1）≠∅$，从而有2t+1$＞3t+\frac{1}{2}$，这便得到t$＜\frac{1}{2}$，与t为正整数矛盾，从而得出不存在满足条件的t．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$；
∴$f（x+1+1）=-\frac{1}{f（x+1）}=f（x）$；
∴f（x）的周期为2；
由f（x）+f（2-x）=0可得，f（x）+f（-x）=0；
即f（-x）=-f（x）；
∴f（x）为奇函数；
（Ⅱ）解：当$x∈（\frac{1}{2}，1）$时，$-x∈（-1，-\frac{1}{2}）$，则：
f（-x）=-2^x=-f（x）；
∴在$（\frac{1}{2}，1）$上f（x）=2^x；
（Ⅲ）假设存在正整数t满足条件，则对$x∈（3t+\frac{1}{2}，3t+1）$，$x-3t∈（\frac{1}{2}，1）$；
此时 f（x-3t）=2^x-3t；
∴${log_2}f（x-3t）＞{x^2}-2tx-3t$变为${log_2}{2^{x-3t}}＞{x^2}-2tx-3t$，可得 x-3t＞x²-2tx-3t；
即x²-（2t+1）x＜0在$x∈（3t+\frac{1}{2}，3t+1）$上有解，t∈N^*；
∴$（0，2t+1）∩（3t+\frac{1}{2}，3t+1）≠∅$；
∴$2t+1＞3t+\frac{1}{2}$，$t＜\frac{1}{2}$；
所以不存在这样的正整数t满足条件．

点评 考查周期函数的定义，奇函数的定义及判断方法，对于奇函数，已知一曲间上的解析式，求其对称区间上的解析式的方法，以及对数的运算，一元二次不等式的解法．