题目内容

20.平面直角坐标系中,已知F(1,0),动点P(-1,t),线段PF的垂直平分线与直线y=t的交点为M,设M的轨迹为曲线?,则?的方程为y2=4x,A、B、C为曲线?上三点,当$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$时,称△ABC为“和谐三角形”,则“和谐三角形”有无数个.

分析 求出线段PF的垂直平分线方程,联立$\left\{\begin{array}{l}{y=t}\\{y=\frac{2}{t}x+\frac{t}{2}}\end{array}\right.$,把x,y用含有t的代数式表示,消去参数t得答案;由题意可得,F为△ABC的重心,然后结合构造以F为重心的三角形可以构造无数个得答案.

解答 解:∵F(1,0),P(-1,t),∴线段PF的中点为(0,$\frac{t}{2}$),
线段PF的垂直平分线方程为y=$\frac{2}{t}x+\frac{t}{2}$,
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=t}\\{y=\frac{2}{t}x+\frac{t}{2}}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{y=t}\\{x=\frac{{t}^{2}}{4}}\end{array}\right.$,
消去t得,y2=4x;
抛物线方程为y2=4x,A、B、C为曲线?上三点,当$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$时,F为△ABC的重心,
用如下办法构造△ABC,连接AF并延长至D,使FD=$\frac{1}{2}AF$,
当D在抛物线内部时,存在以D为中点的弦BC,则这样的三角形有无数个.
故答案为:y2=4x;无数.

点评 本题考查轨迹方程的求法,抛物线的定义及问题的转化能力,是中档题.

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