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【题目】已知抛物线 的焦点F1与椭圆 的一个焦点重合,Γ的准线与x轴的交点为F1 , 若Γ与C的交点为A,B,且点A到点F1 , F2的距离之和为4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若不过原点且斜率存在的直线l交椭圆C于点G,H,且△OGH的面积为1,线段GH的中点为P.在x轴上是否存在关于原点对称的两个定点M,N,使得直线PM,PN的斜率之积为定值?若存在,求出两定点M,N的坐标和定值的大小;若不存在,请说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)由抛物线 的焦点 与椭圆 的一个焦点重合,

又∵抛物线Γ的准线与x轴的交点为F1 ,0),且点A到点F1 , F2的距离之和为4,根据椭圆上的定义知2a=4,
解得a=2.则b2=a2﹣c2=4﹣3=1.
∴椭圆C的方程为
(Ⅱ)设直线l:y=kx+m(m≠0),G(x1 , y1),H(x2 , y2),
联立 ,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
由判别式和根与系数间的关系知△=(8km)2﹣4(1+4k2)(4m2﹣4)=16(4k2+1﹣m2)>0,
,根据弦长公式知丨GH丨= 丨x1﹣x2丨= =
又根据点到直线的距离公式知原点O到直线y=kx+m的距离为
于是△OGH的面积为 .整理得(1+4k2﹣2m22=0,
∴1+4k2﹣2m2=0①
又线段GH的中点 ,即
假设存在满足条件的定点M,N,不妨设M(s,0),N(﹣s,0)(s>0),直线PM,PN的斜率之积为t,
则有 .整理得 ②.
将①代入②,得
由直线l的任意性可得 ,解得
于是存在两定点 ,使得直线PM,PN的斜率之积为定值,定值为
【解析】(Ⅰ)由抛物线方程,求得c= ,根据椭圆的定义,求得2a=4,即可求得a,则b2=a2﹣c2=4﹣3=1,即可求得椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求得丨GH丨,再由点到直线的距离公式及三角形的面积公式求得△OGH的面积,求得1+4k2﹣2m2=0,根据中点坐标公式及直线的斜率公式求得s和t的值,使得直线PM,PN的斜率之积为定值.

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