题目内容

【题目】设点P在曲线y= ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为

【答案】
【解析】解:∵函数y= ex与函数y=ln(2x)互为反函数,图象关于y=x对称 函数y= ex上的点P(x, ex)到直线y=x的距离为d=
设g(x)= ex﹣x,(x>0)则g′(x)= ex﹣1
由g′(x)= ex﹣1≥0可得x≥ln2,
由g′(x)= ex﹣1<0可得0<x<ln2
∴函数g(x)在(0,ln2)单调递减,在[ln2,+∞)单调递增
∴当x=ln2时,函数g(x)min=1﹣ln2,dmin=
由图象关于y=x对称得:|PQ|最小值为2dmin=
故答案为:
由于函数y= ex与函数y=ln(2x)互为反函数,图象关于y=x对称,要求|PQ|的最小值,只要求出函数y= ex上的点P(x, ex)到直线y=x的距离为d= ,设g(x)= ex﹣x,求出g(x)min=1﹣ln2,即可得出结论.

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