题目内容
【题目】已知,
是椭圆
的左右焦点,椭圆与
轴正半轴交于点
,直线
的斜率为
,且
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)为椭圆
上任意一点,过
,
分别作直线
,
,且
与
相交于
轴上方一点
,当
时,求
,
两点间距离的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)设出的方程,根据其斜率以及点到直线的距离,即可列出方程,求得结果;
(2)根据题意,得到,从而求得
点的轨迹方程,将问题转化为求一点到圆上任意一点距离的最大值,则问题得解.
解:(1)由题意,可知,
,
.
∴①.
∵直线的方程为
,即
.
∴由题意有②.
又③.
由①②③得,
,
.
∴椭圆的方程为
.
(2)由(1)可知:,
.
设,
且
.
则当,
都不垂直于
轴时,
,
.
∵,
∴.
∴.
化简,得.
当或
垂直于
轴时,得
,也满足上式.
∴点的轨迹方程为
.
∴当与圆心
距离最大时,
,
两点间距离取得最大值.
∵
.
又∵,
∴.
∴,
两点间距离的最大值为
.
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