题目内容
【题目】已知
，
。
（1）当
时，求f（x）的最大值。
（2）若函数f（x）的零点个数为2个，求
的取值范围。
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）求出
，再求出
，利用的正负判断的单调性，从而判断的正负，从而判断
的单调性，进而求得函数的最值。
（2）求出，再求出，求得函数单调性，对参数
的范围分类讨论，求得函数的最值，结合函数的单调性，从而判断函数的零点个数。
解：（1）当
时，
.因为
时，
所以
在
上为减函数.（递减说明言之有理即可）
又
，所以当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数单调递减；故
.
（2）
，
，
当
，且时，
.
所以在上为减函数
时，
，
时，
，故存在
使得
，且有在
上递增，
在
递减，
.
①当时由（1）知只有唯一零点
②当
时，
即有
，
此时有2个零点
③当
时，
，
又有
，故
.
令
，
，故
在定义域内单调递增.
而
，故
，于是
，所以时不存在零点.
综上：函数的零点个数为2个，的取值范围为．
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