题目内容
四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.
(1)求该四面体的体积的最大值；
(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．
(1)求该四面体的体积的最大值；
(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．
（1）
a3（2）
a2
a3（2）a2(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，
∴VA－BCD＝VA－BPC＋VD－BPC＝
·S△BPC·AP＋S△BPC·PD＝·S△BPC·AD＝·
·a
≤
·
＝a3(当且仅当x＝
a时取等号)．
∴该四面体的体积的最大值为a3.
(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，
∴S表＝2×
a2＋2××a×
＝
a2＋a×
＝a2＋
＝a2.
∴VA－BCD＝VA－BPC＋VD－BPC＝
·S△BPC·AP＋S△BPC·PD＝·S△BPC·AD＝··a≤·＝a3(当且仅当x＝a时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为
a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为
a，∴S表＝2×
a2＋2××a×＝a2＋a×＝a2＋＝a2.
练习册系列答案
相关题目
， 
为底面圆周上一点．
的中点为
，
,求证
平面
；
,
,求此圆锥的全面积．
中，
和
都是以
为斜边的等腰直角三角形，
分别是
的中点.
//平面
;
；
，求三棱锥
，内有一个球与四个面都相切(如图)， 则棱锥的表面积和球的半径为 
，则此正方体边长为 
的三棱锥
的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则球的表面积为（ ）
ABCD的体积为
,底面边长为
,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为 .