题目内容
已知二函数f（x）=ax2+bx+5（x∈R）满足以下要求：
①函数f（x）的值域为[1，+∞）；②f（-2+x）=f（-2-x）对x∈R恒成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设M（x）=
，求x∈[e，e2]时M（x）的值域．
①函数f（x）的值域为[1，+∞）；②f（-2+x）=f（-2-x）对x∈R恒成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设M（x）=
| f(lnx) |
| lnx+1 |
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）配方，利用对称轴和值域求参数，
（2）将M（x）化简，然后通过换元法利用基本不等式求值域．
（2）将M（x）化简，然后通过换元法利用基本不等式求值域．
解答：
解：（1）∵f（x）=ax2+bx+5=a（x+
）2+5-
，
又∴f（-2+x）=f（-2-x），
∴对称轴为x=-2=-
，
∵值域为[-2，+∞），
∴a＞0且5-
=1，
∴a=1，b=4，则函数f（x）=x2+4x+5，
（2）∵M（x）=
=
，
∵x∈[e，e2]，∴令t=lnx+1，则t∈[2，3]，
∴
=
=
=t+
+2，
∵t∈[2，3]，∴t+
+2∈[5，
]，
∴所求值域为：[5，
]．
| b |
| 2a |
| b2 |
| 4a |
又∴f（-2+x）=f（-2-x），
∴对称轴为x=-2=-
| b |
| 2a |
∵值域为[-2，+∞），
∴a＞0且5-
| b2 |
| 4a |
∴a=1，b=4，则函数f（x）=x2+4x+5，
（2）∵M（x）=
| f(lnx) |
| lnx+1 |
| (lnx)2+4lnx+5 |
| lnx+1 |
∵x∈[e，e2]，∴令t=lnx+1，则t∈[2，3]，
∴
| (lnx)2+4lnx+5 |
| lnx+1 |
| (t-1)2+4(t-1)+5 |
| t |
| t2+2t+2 |
| t |
| 2 |
| t |
∵t∈[2，3]，∴t+
| 2 |
| t |
| 17 |
| 3 |
∴所求值域为：[5，
| 17 |
| 3 |
点评：本题考查二次函数的性质和换元法求函数的值域，难点是换元法的使用，注意换元要注明范围．
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