Question

已知函数f（x）=sinx，g（x）=mx-

x3

6

（m为实数）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点P（

π

4

，f（

π

4

））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数g（x）的单调减区间；
（Ⅲ）若m=1，证明：当x＞0时，x＞f（x）＞g（x）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到f′(

π

4

)的值，求得切点坐标，由直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）解：求出函数g（x）的导函数g′（x）=m-

1

2

x²，然后分m≤0和m＞0分析导函数的符号，从而求得g（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）分别构造函数h（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），t（x）=f（x）-g（x）=sinx-x+

x3

6

，然后利用其导函数的符号判断所构造函数的单调性，从而证明答案．

解答： （Ⅰ）解：由题意得所求切线的斜率k=f′(

π

4

)=cos

π

4

=

2

2

．
切点P（

π

4

，

2

2

），则切线方程为y-

2

2

=

2

2

（x-

π

4

），
即x-

2

y+1-

π

4

=0．
（Ⅱ）解：g′（x）=m-

1

2

x²．
①当m≤0时，g′（x）≤0，则g（x）的单调递减区间是（-∞，+∞）；
②当m＞0时，令g′（x）＜0，解得x＜-

2m

或x＞

2m

，
则g（x）的单调递减区间是（-∞，-

2m

），（

2m

，+∞）．
（Ⅲ）证明：令h（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），h′（x）=1-cosx≥0，
则h（x）是[0，+∞）上的增函数．
故当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，x＞sinx，
当m=1时，令t（x）=f（x）-g（x）=sinx-x+

x3

6

，
则t′(x)=cosx-1+

1

2

x2，
而t^′′（x）=-sinx+x在x＞0时恒大于0，
∴t′（x）为（0，+∞）上的增函数，即t′（x）＞t′（0）=0，
即t（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴t（x）=f（x）-g（x）＞t（0）=0，
故f（x）＞g（x）．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数构造法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．