Question

【题目】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, ,平面底面, 为中点, 是棱上的点, .

（Ⅰ）若点是棱的中点,求证: 平面;

（Ⅱ）求证:平面平面;

（Ⅲ）若二面角为,设,试确定的值.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）连接交于,连接，证得，再利用线面平行的判定定理，证得平面；

（Ⅱ）因为为中点，得到，进而得到平面，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；

（Ⅲ）以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面中, ，利用向量的夹角公式，即可求得的值.

试题解析：

（Ⅰ）证明:连接交于,连接,

因为且,即且

所以四边形为平行四边形,且为中点,

又因为是中点,

所以,

因为平面, 平面

所以平面.

（Ⅱ）因为为中点,

所以四边形为平行四边形,所以.

因为,所以,即.

又因为平面平面,且平面平面,

所以平面,

因为平面,

所以平面平面.

（Ⅲ）因为为的中点,所以.

又因为平面平面,且平面平面,

所以平面

以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系,

则点, , , ,平面的一个法向量.

设,则,,

因为

所以

在平面中, ,

因为二面角为,

所以,

所以.