题目内容
【题目】已知圆M的方程为,直线l的方程为
,点P在直线l上,过P点作圆M的切线
,
,切点为A,B.
(1)若,试求点P的坐标;
(2)求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标;
(3)设线段的中点为N,求点N的轨迹方程.
【答案】(1)或
(2)证明见解析;定点
和
(3)
【解析】
(1)设,由题可知
,代入两点间的距离公式可得
,求解
可得点
的坐标;
(2)的中点
,因为PA是圆M的切线,进而可知经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,以MQ为半径的圆,进而得到该圆的方程,根据其方程是关于m的恒等式,进而可求得x和y,得到结果;
(3)结合(2)将两圆方程相减可得直线的方程,且得直线
过定点
,由几何性质得
,即点N在以
为直径的圆上,进而可得结果.
(1)设,因为
是圆M的切线,
,
所以,
,
所以,解之得
,
,
故所求点P的坐标为或
.
(2)的中点
,
因为是圆M的切线,所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,以
为半径的圆,
故其方程为:,
化简得:,
此式是关于m的恒等式,故解得
或
.
所以经过A,P,M三点的圆必过定点和
.
(3)由
可得:
,即
,
由可得
过定点
.
因为N为圆M的弦的中点,所以
,即
,
故点N在以为直径的圆上,
点N的轨迹方程为.
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