题目内容
【题目】试求出最小的正整数
，使得同时满足：
（1）
（
对表示不大于
的最大整数）；
（2）
被190除所得的余数为11.
【答案】
【解析】
由条件（1）可知
.
否则，若
，则有
，这与条件（1）矛盾.故必有.
令
（
为正整数）代入条件（1）中的不等式得
，
即
. ①
由于
为严格递增函数，而
满足式①，
不满足式①，
所以，式①的解为
.从而条件（1）中不等式的解为
.
又因99与190互质，所以，由欧拉定理得
，
即
. ②
引理：若
，
是正整数，而
是最小的正整数，使得
，则必有
.
引理的证明：显然
（由的最小性）.
记
（
，
，且
）.
由及，得
，
即
.
再由为正整数且为最小者及，知只有
.于是，有
，即.
回到原题.
由式②及引理知
.所以，
.
下面求的值.
注意到
，
，
，
，
，
，
，
，
所以，
.
现有
，而
，且99与190互质，所以有
.
由及上述引理，得
，即
.
再由，得
.于是，
，
.
故所求的最小正整数.
【题目】我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布
．
（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？
（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：
人工投入增量x（人） | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 |
年收益增量y（万元） | 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 |
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：
；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：
的附近，对人工投入增量x做变换，令
，则
，且有
．
（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数
，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 |
|
|
| 182.4 | 79.2 |
附：若随机变量
，则
，
；
样本
的最小二乘估计公式为：
，
另，刻画回归效果的相关指数
