Question

18．设正数数列{a_n}的前n项和为S_n满足S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²（n∈N^*）．
（1）求出数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n整理得a_n+1-a_n=2，进而数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）、裂项可知b_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²，
∴a_n+1=S_n+1-S_n
=$\frac{1}{4}$（a_n+1+1）²-$\frac{1}{4}$（a_n+1）²
=$\frac{1}{4}$${{a}_{n+1}}^{2}$+$\frac{1}{2}$a_n+1-$\frac{1}{4}$${{a}_{n}}^{2}$-$\frac{1}{2}$a_n，
整理得：$\frac{1}{2}$（a_n+1+a_n）=$\frac{1}{4}$（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
又∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵a₁=S₁=（a₁+1）²，即a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴a_n=2n-1；
（2）由（1）知b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+$…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．