Question

8．求函数y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）的周期、单调区间、最大值与最小值，并分别写出取到最大值与最小值时自变量x的集合．

Answer 1

分析 直接由周期公式求得函数的周期；利用复合函数的单调性求得函数的单调区间；直接写出函数的最值，由相位终边的位置求得函数取到最大值与最小值时自变量x的集合．

解答 解：函数y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）的周期T=$\frac{2π}{3}$；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{5π}{18}+\frac{2}{3}kπ≤x≤\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ，k∈Z$．
∴函数y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）的增区间为[$-\frac{5π}{18}+\frac{2}{3}kπ，\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z；
由$\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ≤x≤\frac{7π}{18}+\frac{2}{3}kπ，k∈Z$．
∴函数y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）的减区间为[$\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ，\frac{7π}{18}+\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z；
函数y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）的最大值为2，最小值为-2．
由3x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，得$x=\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ，k∈Z$，
∴使函数取得最大值的x的集合为{x|$x=\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ，k∈Z$}；
由3x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，得$x=-\frac{5π}{18}+\frac{2}{3}kπ，k∈Z$，
∴使函数取得最小值的x的集合为{x|$x=-\frac{5π}{18}+\frac{2}{3}kπ，k∈Z$}．

点评 本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查学生对基础知识的记忆与掌握，是基础题．