[题目]已知函数．的单调性,(2)证明:对任意x∈[1.+∞).有f(x)≤2x-a2．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知函数（a＞0）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）证明：对任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

(1)对函数求导，分情况讨论导函数的正负，进而得到单调区间；（2）构造函数，对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的最值，证明函数的最大值小于0即可.

（1）解：．

①当0＜a≤1时，由f'（x）＜0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＜0，

解得；

由f'（x）＞0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＞0，解得．

故函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，＋∞）．

②当a＞1时，由f'（x）＜0，得或；

由f'（x）＞0，得．

故函数f（x）的单调递减区间为（0，），（，＋∞），单调递增区间为．

（2）证明：构造函数，

则．

因为Δ＝（2a）2－4（1＋a2）＜0，

所以（1＋a2）x2－2ax＋1＞0，即g'（x）＜0．

故g（x）在区间[1，＋∞）上是减函数．

又x≥1，所以g（x）≤g（1）＝－（1＋a2）＋1＋a2＝0．

故对任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．

练习册系列答案

相关题目

【题目】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

0

0	2	0	0

(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并求出函数的解析式;

(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,求的值.

【题目】如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,BC=BB1,∠BAC=∠BCA=∠ABC,点E是A1B与AB1的交点,点D在线段AC上,B1C∥平面A1BD.

(1)求证：BD⊥A1C；

(2)求证：AB1⊥平面A1BC。

【题目】数列的各项均为正数，且的前项和是.

(1)若是递增数列，求的取值范围；

(2)若，且对任意，都有，证明： .

【题目】国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”，为响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所．如图，有一个长方形地块，边为，为．地块的一角是草坪（图中阴影部分），其边缘线是以直线为对称轴，以为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带，，分别在边，上（隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计），将隔离出的作为健身场所．则的面积为的最大值为____________（单位：）．