Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，其中左焦点F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，得

解得 ∴椭圆C的方程为 ．

（2）解：设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），

由 消y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，

△=96﹣8m2＞0，∴﹣2 ＜m＜2 ．

∴ =﹣ ，

．

∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上，∴ ，∴ ．

【解析】（1）由题意，得 由此能够得到椭圆C的方程．（2）设点A、B的坐标分别为（x1 ， y1），（x2 ， y2），线段AB的中点为M（x0 ， y0），由 消y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，再由根的判断式结合题设条件能够得到m的值．