题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,若
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为和
,无单调递减区间;(2)
.
【解析】
(1)化简,求出
,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)设
,则
,对
求导,分类讨论,分别判断
的单调性,根据单调性求导
的最值,验证是否合题意即可
(1)因为(
且
),所以
.
设,则
.
当时,
,
是增函数,
,所以
.
故在
上为增函数;
当时,
,
是减函数,
,所以
,所以
在
上为增函数.
故的单调递增区间为
和
,无单调递减区间.
(2)设,则
.
已知条件即为当时
.
因为为增函数,所以当
时,
.
①当时,
,当且仅当
,且
时等号成立.
所以在
上为增函数.
因此,当时,
.
所以满足题意.
②当时,由
,得
,解得
.
因为,所
,所以
.
当时,
,因此
在
上为减函数.
所以当时,
,不合题意.
综上所述,实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】[2019·潍坊期末]某钢铁加工厂新生产一批钢管,为了了解这批产品的质量状况,检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测,将它们的内径尺寸作为质量指标值,由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图:
分组 | 频数 | 频率 |
25.05~25.15 | 2 | 0.02 |
25.15~25.25 | ||
25.25~25.35 | 18 | |
25.35~25.45 | ||
25.45~25.55 | ||
25.55~25.65 | 10 | 0.1 |
25.65~25.75 | 3 | 0.03 |
合计 | 100 | 1 |
(1)求,
;
(2)根据质量标准规定:钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格,钢管尺寸在或
为合格等级,钢管尺寸在
为优秀等级,钢管的检测费用为0.5元/根.
(i)若从和
的5件样品中随机抽取2根,求至少有一根钢管为合格的概率;
(ii)若这批钢管共有2000根,把样本的频率作为这批钢管的频率,有两种销售方案:
①对该批剩余钢管不再进行检测,所有钢管均以45元/根售出;
②对该批剩余钢管一一进行检测,不合格产品不销售,合格等级的钢管50元/根,优等钢管60元/根.
请你为该企业选择最好的销售方案,并说明理由.